题目内容
14．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}，x＞0}\\{1-{x}^{2}-4x，x≤0}\end{array}\right.$若函数y=f（x）-a只有两个零点，则实数a的取值范围是[1，2）∪（5，+∞）．分析 判断f（x）的单调性并求出f（x）在单调区间端点的函数值，作出函数图象，根据函数图象即可得出a的范围．
解答 解：当x＞0时，f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，且f（1）=2．
当x≤0时，f（x）=-x2-4x+1=-（x+2）2+5，
∴f（x）在（-∞，-2）上单调递增，在（-2，0）上单调递减，且f（-2）=5，f（0）=1，
作出f（x）的大致函数图象如图所示：
由图象可知当a＞5或1≤a＜2时，f（x）=a有两解，
故答案为：[1，2）∪（5，+∞）．
点评 本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数单调性的判断，属于中档题．
练习册系列答案
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| A． | 60 | B． | 75 | C． | 80 | D． | 70 |
2．定义域为R的偶函数f（x）满足对任意x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=-2sin$\frac{π}{2}$x-2，若函数y=f（x）-loga（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则实数a的取值范围是（ ）
| A． | （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$] | B． | （$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1） | C． | （0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$） | D． | （$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1） |
9．已知函数f（x）=sinωx（ω＞0）在[0，$\frac{π}{6}$]上的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，当把f（x）的图象上所有的点向右平移φ个单位，得到函数g（x），且g（x）满足g（$\frac{7}{12}$π+x）=g（$\frac{7}{12}$π-x），则正数φ的最小值为（ ）
| A． | $\frac{π}{12}$ | B． | $\frac{π}{6}$ | C． | $\frac{π}{3}$ | D． | $\frac{π}{2}$ |
4．已知D是面积为1的△ABC的边AB的中点，E是边AC上任一点，连接DE，F是线段DE上一点，连接BF，设$\frac{DF}{DE}={λ_1}$，$\frac{AE}{AC}={λ}_{2}$，且${λ_1}+{λ_2}=\frac{1}{2}$，记△BDF的面积为S=f （λ1，λ2），则S的最大值是（ ）
| A． | $\frac{1}{6}$ | B． | $\frac{1}{25}$ | C． | $\frac{1}{30}$ | D． | $\frac{1}{32}$ |