Question

如图，已知椭圆

x2

m

+

y2

m-1

=1（2≤m≤5），过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线交于A、B、C、D，设f （m）=||AB|-|CD||． 
（1）求直线AB的方程；
（2）求f（m）的解析式；
（3）求f（m）的最大、最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设椭圆的焦距为c，则c²=m-（m-1）=1，由此能求出直线AB的方程．
（2）由题意知A（-m，-m+1），D（m，m+1），椭圆的准线为x=±m，由

y=x+1 x2 m + y2 m-1 =1

，得：（2m-1）x²+2mx+2m-m²=0，由此利用根的判别式和两点间距离公式能求出f（m）的解析式．
（3）由f（m）=

2 3

2- 1 m

，又m∈[2，5]，由题意知2-

1

2

≤2-

1

m

≤2-

1

5

，由此能求出f（m）的最大、最小值．

解答： 解：（1）设椭圆的焦距为c，则c²=m-（m-1）=1，
则F₁（-1，0），F₂（1，0），
∴直线AB的方程为y=x+1．…（4分）
（2）由题意知A（-m，-m+1），D（m，m+1），椭圆的准线为x=±m，
由

y=x+1 x2 m + y2 m-1 =1

，消去y并整理得：（2m-1）x²+2mx+2m-m²=0，（6分）
△=8m（m-1）²，∵m∈[2，5]，∴△＞0恒成立，
此时x_B+x_C=-

2m

2m-1

，又直线的斜率k=1，
∴||AB|-|CD||=|

2

|x_B-x_A|-

2

|x_D-x_C||=

2

|（x_B+x_C）-（x_A+x_D）|，（8分）
又x_A=-m，x_D=m，∴x_A+x_D=0
故f（m）=

2

|x_B+x_C|=

2 2 m

2m-1

，m∈[2，5]．（10分）
（3）解：f（m）=

2 3

2- 1 m

，又m∈[2，5]，由题意知2-

1

2

≤2-

1

m

≤2-

1

5

，
∴f（m）∈[

10 2

9

，

4 2

3

]，
故m=2时，f（m）_max=

4 2

3

；m=5时，f（m）_min=

10 2

9

．（14分）

点评：本题考查直线方程的求法，考查函数的解析式的求法，考查函数的最大、最小值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．