Question

在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，AB=5，cos∠ABC=

1

5

．
（Ⅰ） 若BC=2，求sin∠ACB的值；
（Ⅱ） 若D是边AC中点，且BD=

7

2

，求边AC的长．

Answer 1

考点：余弦定理的应用

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）直接利用余弦定理求出AC，然后利用正弦定理求sin∠ACB的值；
（Ⅱ）以BA，BC为邻边作如图所示的平行四边形ABCE，如图，若D是边AC中点，且BD=

7

2

，在△BCE中，由余弦定理求出CB，在△ABC中，利用余弦定理求边AC的长．

解答： 解：（Ⅰ） AB=5 ，  cos∠ABC=

1

5

，BC=2，
由余弦定理：AC²=BA²+BC²-2BA•BC•cos∠ABC=5²+2²-2×5×2×

1

5

=25，∴AC=5． …（3分）
又∠ABC∈（0，π），所以sin∠ABC=

1-cos2∠ABC

=

2 6

5

，
由正弦定理：

AB

sin∠ACB

=

AC

sin∠ABC

，
得sin∠ACB=

AB×sin∠ABC

AC

=

2 6

5

．…（6分）
（Ⅱ） 以BA，BC为邻边作如图所示的平行四边形ABCE，如图，
则cos∠BCE=-cos∠ABC=-

1

5

，BE=2BD=7，CE=AB=5，
在△BCE中，由余弦定理：BE²=CB²+CE²-2CB•CE•cos∠BCE．
即49=CB2+25-2×5×CB×(-

1

5

)，
解得：CB=4．  …（10分）
在△ABC中，AC2=BA2+BC2-2BA•BC•cos∠ABC=52+42-2×5×4×

1

5

=33，
即AC=

33

．…（12分）

点评：本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力．