Question

已知椭圆x²+2y²=8过点P（2，1）引一条弦且弦被点P平分，求弦所在直线方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设弦的端点坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，代入椭圆方程可得，x₁²+2y₁²=8，x₂²+2y₂²=8，两个方程作差可求得直线斜率，利用点斜式可得直线方程，注意检验．

解答： 解：设弦的端点坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
代入椭圆方程可得，x₁²+2y₁²=8，①，
x₂²+2y₂²=8②
①-②得，（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0
∴

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

2(y1+y2)

=-1，
由点斜式方程可得直线方程为：y-1=-1•（x-2），即x+y-3=0，
经检验符合题意．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，属中档题，涉及弦中点问题常采取“平方差法”解决．