题目内容
已知函数f（x）=x-xlnx，g（x）=f（x）-xf′（a），其中f′（a）表示函数f（x）在x=a处的导数，a为正常数，且
（1）求g（x）的单调区间；
（2）对任意的正实数x1，x2，且x1＜x2，证明：（x2-x1）f′（x2）＜f（x2）-f（x1）＜（x2-x1）f′（x1）．
（1）求g（x）的单调区间；
（2）对任意的正实数x1，x2，且x1＜x2，证明：（x2-x1）f′（x2）＜f（x2）-f（x1）＜（x2-x1）f′（x1）．
考点：利用导数研究函数的单调性,导数在最大值、最小值问题中的应用
专题：函数的性质及应用,导数的综合应用
分析：（1）先求出函数的定义域，再求函数的导数，进一步将f′（a）表示出来，代入g（x），再进一步利用导数研究函数g（x）的单调性；
（2）根据第一问的结果，结论可化为f′(x2)＜
＜f′(x1)，从而利用导数的几何意义结合函数的单调性完成证明．
（2）根据第一问的结果，结论可化为f′(x2)＜
| f(x2)-f(x1) |
| x2-x1 |
解答：
解：（1）由已知得f′（x）=-lnx，所以g（x）=x-xlnx+xlna
则由已知得g′(x)=f′(x)-f′(a)=-lnx+lna=ln
所以x∈（0，a）时，0＜
＜1，所以此时g′（x）＞0，
所以g（x）在（0，a）上单调递增，同理可判断当x∈（a，+∞）时，g（x）递减，
故函数g（x）的递增区间为（0，a），递减区间为（a，+∞）．
（2）对任意的正实数x1，x2，且x1＜x2，
要证（x2-x1）f′（x2）＜f（x2）-f（x1）＜（x2-x1）f′（x1）成立，结合x1＜x2
只需证f′(x2)＜
＜f′(x1)
显然
表示的是点（x1，f（x1））与（x2，f（x2））连线的斜率，
则由导数的几何意义可知，在区间（x1，x2）上必存在点（x0，f（x0））一条切线平行于该割线，
即f′（x0）=
，由（1）知f′（x）=-lnx在[x1，x2]上递减，
所以f′（x2）＜f′（x0）＜f′（x1）
即（x2-x1）f′（x2）＜f（x2）-f（x1）＜（x2-x1）f′（x1）．证毕．
则由已知得g′(x)=f′(x)-f′(a)=-lnx+lna=ln
| a |
| x |
所以x∈（0，a）时，0＜
| a |
| x |
所以g（x）在（0，a）上单调递增，同理可判断当x∈（a，+∞）时，g（x）递减，
故函数g（x）的递增区间为（0，a），递减区间为（a，+∞）．
（2）对任意的正实数x1，x2，且x1＜x2，
要证（x2-x1）f′（x2）＜f（x2）-f（x1）＜（x2-x1）f′（x1）成立，结合x1＜x2
只需证f′(x2)＜
| f(x2)-f(x1) |
| x2-x1 |
显然
| f(x2)-f(x1) |
| x2-x1 |
则由导数的几何意义可知，在区间（x1，x2）上必存在点（x0，f（x0））一条切线平行于该割线，
即f′（x0）=
| f(x2)-f(x1) |
| x2-x1 |
所以f′（x2）＜f′（x0）＜f′（x1）
即（x2-x1）f′（x2）＜f（x2）-f（x1）＜（x2-x1）f′（x1）．证毕．
点评：本题考查了导数在研究函数单调性中的应用，第二问充分利用了导数的几何意义、割线与切线的间的关系完成了证明，充分体现了导数几何意义的本质．
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