Question

已知m，n为正数，实数x，y满足

2

x+

2

y-3

x+m

-3

y+n

=0，若x+y的最大值为27，则m+n=

 

．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由题意，

x+m

+

y+n

=

2 (x+y)

3

，从而得到

x+y+m+n

2

≥(

2 (x+y)

6

)2，令x+y=u，则u²-9u-9（m+n）≤0，从而得27是方程u²-9u-9（m+n）=0的解，从而求解．

解答： 解：由题意，

x+m

+

y+n

=

2 (x+y)

3

，
则

1

2

（

x+m

+

y+n

）=

1

2

•

2 (x+y)

3

，
则由

x+y+m+n

2

≥(

x+m + y+n

2

)2可得，

x+y+m+n

2

≥(

2 (x+y)

6

)2，
令x+y=u，
则上式可化为
u²-9u-9（m+n）≤0，
又∵u=x+y的最大值为27可知，
27是方程u²-9u-9（m+n）=0的解，
即27×27-9×27-9（m+n）=0，
解得m+n=27×2=54，
故答案为：54．

点评：本题考查了基本不等式的应用及不等式与方程的解的关系，属于中档题．