Question

已知函数f（x）=sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

+a，其图象相邻对称轴之间的距离为

π

2

，f（x）的最大值为

1

2

．
（1）求ω和a；
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移

π

24

个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[0，3π]上的单调区间．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,正弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由函数的周期求得ω，由最大值求得a的值．
（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性求出它的单调区间，结合x∈[0，3π]，进一步确定函数的单调区间．

解答： 解：（1）由题意可得，函数的周期为

2π

2ω

=2×

π

2

，求得ω=1．再根据1+

1

2

+a=

1

2

，求得a=-1．
（2）由（1）可得f（x）=sin（2x+

π

6

）-

1

2

，
将函数y=f（x）的图象向左平移

π

24

个单位，可得函数y=sin[2（x+

π

24

）+

π

6

]=sin（2x+

π

4

）的图象；
再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）=sin（

1

2

x+

π

4

） 的图象．
令2kπ-

π

2

≤

1

2

x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得4kπ-

3π

2

≤x≤4kπ+

π

2

，故函数的增区间为[4kπ-

3π

2

，4kπ+

π

2

]，k∈z．
令2kπ+

π

2

≤

1

2

x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得4kπ+

π

2

≤x≤4kπ+

5π

2

，故函数的减区间为[4kπ+

π

2

，4kπ+

5π

2

]，k∈z．
再结合x∈[0，3π]，可得函数的增区间为[0，

π

2

]、[

5π

2

，3π]；减区间为[

π

2

，

5π

2

]．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．