Question

11．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b²+c²-a²=bc．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）设函数$f（x）=sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+\sqrt{3}{cos^2}\frac{x}{2}$，当f（B）取最大值时，判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知和余弦定理可得cosA=$\frac{1}{2}$，可得$A=\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由题意和三角函数公式可得$f（B）=sin（B+\frac{π}{3}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，由三角函数的最值可得$B=\frac{π}{6}$，可判△ABC是直角三角形．

解答 解：（Ⅰ）∵在△ABC中，b²+c²-a²=bc，
∴由余弦定理可得$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），∴$A=\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）∵$f（x）=sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+\sqrt{3}{cos^2}\frac{x}{2}$，
∴$f（x）=\frac{1}{2}sinx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$f（x）=sin（x+\frac{π}{3}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$f（B）=sin（B+\frac{π}{3}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∵B∈（0，π），∴当$B+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$，
即$B=\frac{π}{6}$时，f（B）取最大值，
∴此时易知道△ABC是直角三角形．

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角形形状的判断，属中档题．