Question

已知α∈（0，π），求证：2sin2α≤

sinα

1-cosα

，试用综合法和分析法分别证明．

Answer 1

考点：综合法与分析法(选修）

专题：证明题,分析法,综合法

分析：1．用综合法证明：将右边减去左边，通分，配方，由α∈（0，π），得cosα与sinα的范围，从而判断差式的符号，即可得证．
2．用分析法证明：利用二倍角公式，将“sin2α”改写为“2sinαcoaα”，从而原式等价于“4cosα≤

1

1-cosα

”，去分母，进一步转化为4cosα（1-cosα）≤1，即可化为完全平方式，得证．

解答： 证明：（综合法）

sinα

1-cosα

-2sin2α
=sinα(

1

1-cosα

-4cosα)=

(1-2cosα)2sinα

1-cosα

，
∵α∈（0，π），∴-1＜cosα＜1，0＜sinα＜1，
∴

(1-2cosα)2sinα

1-cosα

≥0，即

sinα

1-cosα

-2sin2α≥0，
∴2sin2α≤

sinα

1-cosα

．
另证：（分析法）∵sin2α=2sinαcosα，
∴原不等式等价于4sinαcosα≤

sinα

1-cosα

．
又∵α∈（0，π），∴-1＜cosα＜1，0＜sinα＜1，
∴只需证4cosα≤

1

1-cosα

，化简，
得4cosα（1-cosα）≤1，即证（2cosα-1）²≥0，而此式显然成立，
故原不等式成立，得证．

点评：本题考查了利用综合法及分析法证明三角不等式，关键是掌握综合法与分析法的原理、步骤及格式．