Question

11．已知△ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acos A=ccos B+bcos C．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若b²+c²=7，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据正弦定理和以及两角和正弦公式即可得到cos A=$\frac{1}{2}$，问题得以解决，
（Ⅱ）根据正弦定理和余弦定理可得bc的值，即可求出三角形的面积．

解答 解：（Ⅰ）因为2acos A=ccos B+bcos C，则由正弦定理得：2sin A•cos A=sin Ccos B+sin Bcos C，
所以2sin A•cos A=sin（B+C）=sin A，
又0＜A＜π，
所以sin A≠0，从而2cos A=1，cos A=$\frac{1}{2}$，
故A=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由A=$\frac{π}{3}$知sin A=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，而△ABC的外接圆半径为1，
故由正弦定理可得a=2sin A=$\sqrt{3}$，
再由余弦定理a²=b²+c²-2bccos A，
可得bc=b²+c²-a²=7-3=4，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsin A=$\sqrt{3}$．

点评 此题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用．考查了推理能力与计算能力，属于中档题．