Question

20．若 数列$\left\{{a_n}\right\}满足{a_1}=2，{a_{n+1}}=\frac{{1+{a_n}}}{{1-{a_n}}}（n∈{N^*}）$，则该数列的前2017项的乘积是（　　）

• A． -2
• B． -3
• C． 2
• D． $-\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 数列$\left\{{a_n}\right\}满足{a_1}=2，{a_{n+1}}=\frac{{1+{a_n}}}{{1-{a_n}}}（n∈{N^*}）$，可得：a_n+4=a_n，a₁a₂a₃a₄=1．利用周期性即可得出．

解答 解：∵数列$\left\{{a_n}\right\}满足{a_1}=2，{a_{n+1}}=\frac{{1+{a_n}}}{{1-{a_n}}}（n∈{N^*}）$，
∴a₂=$\frac{1+{a}_{1}}{1-{a}_{1}}$=-3，同理可得：a₃=$-\frac{1}{2}$，a₄=$\frac{1}{3}$，a₅=2，…．
∴a_n+4=a_n，a₁a₂a₃a₄=1．
∴该数列的前2017项的乘积=1⁵⁰⁴×a₁=2．
故选：C．

点评 本题考查了数列递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．