Question

3．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2ax+{a}^{2}+1，x≤0}\\{{x}^{2}+\frac{2}{x}-a，x＞0}\end{array}\right.$
（Ⅰ）若对于任意的x∈R，都有f（x）≥f（0）成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）记函数f（x）的最小值为M（a），解关于实数a的不等式M（a-2）＜M（a）．

Answer 1

分析 （I）分别计算f（x）在（-∞，0）和（0，+∞）上的最小值，列出不等式得出a的范围；
（II）解不等式得出M（a）的解析式，结合函数图象得出a的值．

解答 解：（I）当x≤0时，f（x）=（x-a）²+1，
∵f（x）≥f（0），∴f（x）在（-∞，0]上单调递减，
∴a≥0，
当x＞0时，f′（x）=2x-$\frac{2}{{x}^{2}}$，
令2x-$\frac{2}{{x}^{2}}$=0得x=1，
∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴f_min（x）=f（1）=3-a，
∵f（x）≥f（0）=a²+1，
∴3-a≥a²+1，解得-2≤a≤1．
又a≥0，
∴a的取值范围是[0，1]．
（II）由（I）可知当a≥0时，f（x）在（-∞，0]上的最小值为f（0）=a²+1，
当a＜0时，f（x）在（-∞，0]上的最小值为f（a）=1，
f（x）在（0，+∞）上的最小值为f（1）=3-a，
解不等式组$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+1≤3-a}\\{a≥0}\end{array}\right.$得0≤a≤1，
解不等式组$\left\{\begin{array}{l}{1≤3-a}\\{a＜0}\end{array}\right.$得a＜0，
∴M（a）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+1，0≤a≤1}\\{1，a＜0}\\{3-a，a≥1}\end{array}\right.$．
∴M（a）在（-∞，0）上为常数函数，在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，
作出M（a）的函数图象如图所示：

令3-a=1得a=2，
∵M（a-2）＜M（a），
∴0＜a＜2．

点评 本题考查了分段函数的最值计算，函数单调性的判断，属于中档题．