Question

【题目】已知.

（1）若方程在上有实数根，求实数的取值范围；

（2）若在上的最小值为，求实数的值.

Answer 1

【答案】（1）;（2）.

【解析】【试题分析】（1）令，将其化为，构造函数，利用导数研究函数的单调性与极值，结合图象可求得的范围.（2）对求导，然后按分类讨论函数的单调区间，结合最小值可求得点的值.

【试题解析】

（1）方程可化为，

令，则，

由可得，由可得，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴的极小值为，

而， ，则，

由条件可知点与连线的斜率为，

可知点与连线的斜率为，而，

结合图像可得时，函数与有交点.

∴方程在上有实数根时，实数的取值范围是

（2）由可得，

①若，则在上恒成立，即在单调递减，

则的最小值为，故，不满足，舍去；

②若，则在上恒成立，即在单调递增，

则的最小值为，故，不满足，舍去；

③若，则时， ； 时， .

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴的最小值为，

解之得，满足.

综上可知，实数的值为.