题目内容
【题目】平面直角坐标系中,圆
的圆心为
.已知点
,且
为圆
上的动点,线段
的中垂线交
于点
.
(Ⅰ)求点的轨迹方程;
(Ⅱ)设点的轨迹为曲线
,抛物线
:
的焦点为
.
,
是过点
互相垂直的两条直线,直线
与曲线
交于
,
两点,直线
与曲线
交于
,
两点,求四边形
面积的取值范围.
【答案】(1);(2)四边形
面积的取值范围是
.
【解析】试题分析;(1)根据中垂线的几何性质得到
,由椭圆的定义的到轨迹方程为
;(2)
,联立直线和椭圆得到二次方程,由弦长公式分别求得AC和BD,进而求得面积表达式,再由换元法得到最值.
解析:
(Ⅰ)∵为线段
中垂线上一点,
∴
,
∵,
,∵
,
∴的轨迹是以
,
为焦点,长轴长为
的椭圆,
它的方程为.
(Ⅱ)∵的焦点为
,
的方程为
,
当直线斜率不存在时,
与
只有一个交点,不合题意.
当直线斜率为
时,可求得
,
,
∴.
当直线斜率存在且不为
时,
方程可设为,代入
得
,
,
设,
,则
,
,
.
直线的方程为
与
可联立得
,
设,
,则
,
∴四边形的面积
.
令,则
,
,
∴在
是增函数,
,
综上,四边形面积的取值范围是
.
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