题目内容
【题目】已知椭圆的离心率
,左、右焦点分别为
,且
与抛物线
的焦点重合.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若过的直线交椭圆于
两点,过
的直线交椭圆于
两点,且
,求
的最小值.
【答案】(1)椭圆的标准方程为;(2)
的最小值为
.
【解析】试题分析:(1)由题可知)抛物线的焦点为
,所以
,然后根据离心率可得a值,从而得出椭圆标准方程(2)根据题意则需求出AC和BD的长度表达式,显然可以根据直线与椭圆的弦长公式求得,所以设
,
,直线
的方程为
,代入椭圆方程
,
,同理求出AC的长度,然后化简即得
.
解析:
(1)抛物线的焦点为
,所以
,
又因为,所以
,
所以,所以椭圆的标准方程为
.
(2)(i)当直线的斜率
存在且
时,
直线的方程为
,代入椭圆方程
,
并化简得.
设,
,则
,
,
.
易知的斜率为
,
所以.
.
当,即
时,上式取等号,故
的最小值为
.
(ii)当直线的斜率不存在或等于零时,易得
.
综上, 的最小值为
.
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