题目内容
【题目】已知函数(
是自然对数的底数)
(1)若直线为曲线
的一条切线,求实数
的值;
(2)若函数在区间
上为单调函数,求实数
的取值范围;
(3)设,若
在定义域上有极值点(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值),求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
;(3)
或
.
【解析】试题分析:
(1)设切点,根据导数的几何意义求解.(2)分单调递增合递减两种情况考虑,将问题转化为导函数大(小)于等于零在恒成立求解可得
的范围.(3)由题意得
,令
,然后对实数
的取值进行分类讨论,并根据
的符号去掉绝对值,再结合导数得到函数
的单调性,进而得到函数
有极值时实数
的取值范围.
试题解析:
(1)设切点,则
(*)
又
,代入(*)得
.
(2)设,
当单调递增时,
则在
上恒成立,
∴ 在
上恒成立,
又
解得
.
当单调递减时,
则在
上恒成立,
∴在
上恒成立,
综上单调时
的取值范围为
.
(3),
令则
,
当时,
,
单调递增,
∴,即
.
1)当,即
时,
∴,
则单调递增,
在
上无极值点.
2)当即
时,
∴
I)当,即
时,
在
递增,
,
在
上递增,
在
上无极值点.
II)当时,由
在
递减,
递增,
又
使得
在
上单调递减,在
上单调递增,
在
上有一个极小值点.
3)当时,
,
在
上单调递减,在
上单调递增,
又,
在
上恒成立,
无极值点.
4)当时,
在
递增,
使得
,
当
时,
当
时,
,
,
,
令,
下面证明,即证
,
又
,
即证,所以结论成立,即
,
在
递减,
递增,
为
的极小值.
综上当或
时,
在
上有极值点.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某地随着经济的发展,居民收入逐年增长.该地一建设银行统计连续五年的储蓄存款(年底余额)得到下表:
年份 | |||||
储蓄存款 (千亿元) |
为便于计算,工作人员将上表的数据进行了处理(令,
),得到下表:
时间 | |||||
储蓄存款 |
(Ⅰ)求关于
的线性回归方程;
(Ⅱ)通过(Ⅰ)中的方程,求出关于
的回归方程;
(Ⅲ)用所求回归方程预测到年年底,该地储蓄存款额可达多少?
附:线性回归方程,其中
,
.