题目内容

【题目】已知点,圆,点是圆上一动点, 的垂直平分线与线段交于点.

(1)求点的轨迹方程;

(2)设点的轨迹为曲线,过点且斜率不为0的直线交于两点,点关于轴的对称点为,证明直线过定点,并求面积的最大值.

【答案】(1)(2)

【解析】【试题分析】(1由于,所以的轨迹为椭圆,利用椭圆的概念可求得椭圆方程.(2)当直线的斜率存在时,设出直线方程和点的坐标,联立直线方程和椭圆方程,写出韦达定理,求得直线的方程,求得其纵截距为,即过.验证当斜率不存在是也过.求出三角形面积的表达式并利用基本不等式求得最大值.

【试题解析】

解:(1)由已知得: ,所以

,所以点的轨迹是以为焦点,长轴长等于4的椭圆,

所以点轨迹方程是.

(2)当存在时,设直线 ,则

联立直线与椭圆得

,所以直线

所以令,得

所以直线过定点,(当不存在时仍适合)

所以的面积 ,当且仅当时,等号成立.

所以面积的最大值是.

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