题目内容

设t为实数，|
e1
|=2，|
e2
|=1，
e1
，
e2
的夹角为
π
3
，若向量2t
e1
+7
e2
与向量
e1
+t
e2
的夹角为钝角，则实数t的取值范围是
 
．
考点：平面向量数量积的运算
专题：计算题,平面向量及应用
分析：由向量的数量积的定义得到，
e1
•
e2
=1，由于向量2t
e1
+7
e2
与
e1
+t
e2
的夹角为钝角，可得（2t
e1
+7
e2
）•（
e1
+t
e2
）＜0，且向量2t
e1
+7
e2
与
e1
+t
e2
不共线．分别求得t的范围，再求交集即可．
解答： 解：由|
e1
|=2，|
e2
|=1，
e1
，
e2
的夹角为
π
3
，
则
e1
•
e2
=2×1×cos
π
3
=1，
由于向量2t
e1
+7
e2
与
e1
+t
e2
的夹角为钝角，
可得（2t
e1
+7
e2
）•（
e1
+t
e2
）＜0，
且向量2t
e1
+7
e2
与
e1
+t
e2
不共线．
由（2t
e1
+7
e2
）•（
e1
+t
e2
）＜0，
可得 2t2+15t+7＜0，解得-7＜t＜-
1
2
．
再由2t
e1
+7
e2
与
e1
+t
e2
不共线，
可得2t2≠7，解得 t≠±
14
2
．
综上可得，实数t的取值范围是 （-7，-
14
2
）∪（-
14
2
，-
1
2
），
故答案为：（-7，-
14
2
）∪（-
14
2
，-
1
2
）．
点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量共线的性质，用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
在边长为a的正方形内随机取一个点，则此点落在该正方形的内切圆内部的概率为（　　）
A、
π
4
B、
π
6
C、
2
π
D、
3
π
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-1（n∈N*），则a4=（　　）
A、8B、16C、31D、32
下列命题正确的是（　　）
A、函数y=cos（x+
π
3
）的图象是关于点（（
π
6
，0）成中心对称的图形
B、函数y=cos4x-sin4x的最小正周期为2π
C、函数y=sin（2x+
π
3
）在区间（-
π
3
，
π
6
）内单调递增
D、函数y=tan（x+
π
3
）的图象是关于直线x=
π
6
成轴对称的图形
设是虚数单位，若复数
a-i
2+i
为实数，则实数a的值为（　　）
A、-2
B、2
C、-
1
2
D、
1
2
等比数列{an}的各项均为正数，且3a1+2a2=16，a32=4a2a6．
（I）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{bn}满足条件：2bn=[1-（-1）n]an，求数列{bn}的前2n项和S2n．
若x0是函数f（x）=2x-x-3的零点，则[x0]（表示不超过x0的最大整数）的值为
 
．
已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=
π
2
，G是BC的中点．AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的动点，且EF∥BC，设AE=x（0＜x＜2），沿EF将梯形ABCD翻折，使使平面AEFD⊥平面EBCF，如图．
（1）当x=2时，求证：BD⊥EG；
（2）若以B、C、D、F为顶点的三棱锥的体积记为f（x），求f（x）的最大值；
（3）当f（x）取得最大值时，求二面角D-BF-C的余弦值．
函数y=
1
x
，y=x2，y=3x，y=log2x中，在区间（0，+∞）上单调递减的是（　　）
A、y=
1
x
B、y=x2
C、y=3x
D、y=log2x

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