Question

等比数列{a_n}的各项均为正数，且3a₁+2a₂=16，a₃²=4a₂a₆．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足条件：2b_n=[1-（-1）ⁿ]a_n，求数列{b_n}的前2n项和S_2n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）设等比数列{a_n}的公比为q＞0，由于a₃²=4a₂a₆=4

a

2 4

，可得q=

a4

a3

=

1

2

．又3a₁+2a₂=16，解得a₁=4．即可得出a_n．
（II）由于2b_n=[1-（-1）ⁿ]a_n，可得bn=

1-(-1)n

2

an=

0，n为偶数 an，n为奇数

．因此S_2n=a₁+a₃+…+a_2n-1，利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（I）设等比数列{a_n}的公比为q＞0，
∵a₃²=4a₂a₆=4

a

2 4

，
∴q=

a4

a3

=

1

2

．
又3a₁+2a₂=16，
∴3a₁+2a₁q=16，解得a₁=4．
∴a_n=4×(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-3．
（II）∵2b_n=[1-（-1）ⁿ]a_n，
∴bn=

1-(-1)n

2

an=

0，n为偶数 an，n为奇数

．
∴S_2n=a₁+a₃+…+a_2n-1
=(

1

2

)-2+(

1

2

)0+…+(

1

2

)2n-4
=

4×[1-( 1 4 )n]

1- 1 4

=

16

3

[1-(

1

4

)n]．

点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．