Question

3．设数列{a_n}的各项均为正数，它的前n项和为S_n，点（a_n，S_n）在函数y=$\frac{1}{8}$x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$的图象上，其中n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知${S_n}=\frac{1}{8}a_n^2+\frac{1}{2}{a_n}+\frac{1}{2}$，n≥2时，${S_{n-1}}=\frac{1}{8}a_{n-1}^2+\frac{1}{2}{a_{n-1}}+\frac{1}{2}$，两式相减可知：a_n-a_n-1=4，当n=1时，a₁=2，可知数列{a_n}是以2为首项，以4为公差的等差数列，数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由c_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{4（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{8}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），采用“裂项法”，即求得数列{c_n}的前n项和T_n．

解答 解：（Ⅰ）将点（a_n，S_n）代入函数y=$\frac{1}{8}$x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$，可知：${S_n}=\frac{1}{8}a_n^2+\frac{1}{2}{a_n}+\frac{1}{2}$，①
当n≥2时，${S_{n-1}}=\frac{1}{8}a_{n-1}^2+\frac{1}{2}{a_{n-1}}+\frac{1}{2}$，②
①-②得：$a_n^{\;}=\frac{1}{8}（{a_n^2-a_{n-1}^2}）+\frac{1}{2}（{{a_n}-{a_{n-1}}}）$，即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-4）=0，
∵数列{a_n}的各项均为正数，∴a_n-a_n-1=4（n≥2），--------（4分）
当n=1时，a₁=2，
∴数列{a_n}是以2为首项，以4为公差的等差数列，
∴a_n=4n-2（n∈N^*）．--------（6分）
（Ⅱ）∵c_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{4（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{8}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），--------（9分）
∴T_n=$\frac{1}{8}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）]，
=$\frac{1}{8}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
=$\frac{n}{4（2n+1）}$，
T_n=$\frac{n}{4（2n+1）}$．----------（12分）

点评 本题考查等差数列通项公式，“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．