Question

关于x的实系数方程x²-ax+ab=0
（1）设x=1-

3

i是方程的根，求实数a、b的值；
（2）证明：当

b

a

＞

1

4

时，该方程没有实数根．

Answer 1

考点：复数代数形式的混合运算

专题：数系的扩充和复数

分析：（1）利用实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系、复数的余弦法则即可得出；
（2）利用一元二次方程的实数根与判别式的关系即可得出．

解答： （1）解：∵x=1-

3

i是方程的根，则1+

3

i也是方程的根，
由韦达定理得：1-

3

i+1+

3

i=a，(1-

3

i)(1-

3

i)=ba，
解得a=2，b=2．
（2）证明：∵

b

a

＞

1

4

，则

b

a

-

1

4

=

4b-a

4a

＞0⇒4a（4b-a）＞0⇒4ab-a²＞0，
∴△=a²-4ab＜0，故原方程无实根．

点评：本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系、复数的余弦法则、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了计算能力，属于基础题．