Question

已知几何体EFG-ABCD如图所示，其中四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长为1，点M在边DG上．
（1）求证：BM⊥EF；
（2）是否存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°．若存在，试求点M的位置．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：计算题,作图题,证明题,空间位置关系与距离

分析：如图，连结AC、BD，交于点O，作OH∥AE，交EF于点H，连结BH，
（1）可证明EF∥AC；再证明AC⊥平面BDG，从而可证明EF⊥平面BDG，从而证明BM⊥EF；
（2）易知∠HBO是平面BEF与平面ABCD所成的角，从而求出tan∠HBO=

HO

OB

=

2

＞1，说明存在，再由三角恒等变换求MD的长度即可．

解答： 解：如图，连结AC、BD，交于点O，作OH∥AE，交EF于点H，连结BH，
（1）证明：∵四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，
∴AE=CF，AE∥CF，
∴AEFC是平行四边形，
∴EF∥AC；
又∵AC⊥BD，
DG⊥AC，
∴AC⊥平面BDG，
∴EF⊥平面BDG，
又∵BM?平面BDG，
∴BM⊥EF；
（2）易知∠HBO是平面BEF与平面ABCD所成的角，
在Rt△BOH中，
OH=1，BO=

2

2

，
则tan∠HBO=

HO

OB

=

2

＞1，
∴存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°，
∠MBH为直线MB与平面BEF所成的角，
若∠MBH=45°，
则tan∠MBD=tan（∠HBO-45°）
=

2 -1

2 +1

=3-2

2

，
故

MD

BD

=3-2

2

，
则MD=3

2

-4．

点评：本题考查了学生的空间想象力与作图能力，同时考查了三角恒等变换及三角函数的定义，属于中档题．