Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一个焦点是F₁（-2，0），且b²=3a²
（1）求双曲线C的方程；
（2）设经过双曲线右焦点的直线l的斜率为-m，当直线l与双曲线C的右支相交于不同的两点A、B时，求实数m的取值范围，并证明AB的中点M在曲线（x-1）²-

y2

3

=1上．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,双曲线的简单性质

专题：计算题,证明题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据半焦距c和a与b的关系联立方程求得a和b，则双曲线方程可得；
（2）把直线l与双曲线方程联立消去y，根据判别式大于0，判断出直线与双曲线定有交点，进而根据韦达定理求得交点横坐标的和与积得表达式，根据双曲线的性质求得m的范围．设A，B的坐标，则可知其中点的坐标，代入曲线3（x-1）²-y²=3等式成立，可判断出AB的中点在此曲线上．

解答： （1）解：由题意得，c=2，c²=a²+b²
∴4=a²+3a²∴a²=1，b²=3，
∴双曲线方程为x²-

y2

3

=1；
（2）证明：由右焦点为（2，0），则直线l：m（x-2）+y=0，
由

y=-mx+2m 3x2-y2=3

得（3-m²）x²+4m²x-4m²-3=0，
由△＞0得4m⁴+（3-m²）（4m²+3）＞0，即12m²+9-3m²＞0，即m²+1＞0恒成立，
又

x1+x2= 4m2 m2-3 ＞0 x1x2= 4m2+3 m2-3 ＞0

∴m²＞3∴m∈（-∞，-

3

）∪（

3

，+∞），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

x1+x2

2

=

2m2

m2-3

，

y1+y2

2

=-

2m3

m2-3

+2m=

-6m

m2-3

，
∴AB中点M（

2m2

m2-3

，-

6m

m2-3

）
∵3（

2m2

m2-3

-1）²-

36m2

(m2-3)2

=3×

(m2+3)2

(m2-3)2

-

36m2

(m2-3)2

=3•

m4+6m2+9-12m2

(m2-3)2

=3
∴AB的中点M在曲线（x-1）²-

y2

3

=1上．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查联立直线方程和双曲线方程，消去未知数，运用韦达定理和中点坐标公式，注意判别式大于0，考查运算能力，属于中档题．