Question

已知动点P（x，y）满足

y≥1 x+2y≤5 x+y≥3

，点Q（1，-1），O为坐标原点，λ|

OP

|=

OP

•

OQ

，则实数λ的取值范围是（　　）

• A、[-

  10

  5

  ，-

  5

  5

  ]
• B、[

  5

  5

  ，

  10

  5

  ]
• C、[-

  10

  5

  ，

  5

  5

  ]
• D、[-

  5

  5

  ，

  10

  5

  ]

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：根据向量的数量积公式将条件进行化简，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：∵λ|

OP

|=

OP

•

OQ

=|

OP

|•|

OQ

|cos＜

OP

，

OQ

＞，
∴λ=|

OQ

|cos＜

OP

，

OQ

＞=

2

cos＜

OP

，

OQ

＞，
作出不等式组对应的平面区域如图，
则OQ，OA的夹角最小，OQ，OB的夹角最大，
由

y=1 x+2y=5

，解得

x=3 y=1

，即A（3，1），
由

x+2y=5 x+y=3

，解得

x=1 y=2

，即B（1，2），
则

OA

=(3，1)，

OB

=(1，2)，
则cos＜

OA

，

OQ

＞=

OA • OQ

| OA || OQ |

=

3-1

2 • 10

=

2

2 5

=

5

5

，
cos＜

OB

，

OQ

＞=

OB • OQ

| OB || OQ |

=

1-2

5 • 2

=-

10

10

，
∴-

10

10

≤cos＜

OP

，

OQ

＞≤

5

5

，
即-

5

5

≤

2

cos＜

OP

，

OQ

＞≤

10

5

，
即-

5

5

≤λ≤

10

5

，
故选：D

点评：本题主要考查线性规划的应用，结合向量数量积的应用，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．