Question

如图，平行四边形ABCD中，∠ABD=90°，AB=2，AD=4，将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD．
（1）求证：AB⊥DE；
（Ⅱ）求三棱锥E-ABD的侧面积．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质,棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）DE⊥BD，根据面面垂直的性质定理，容易说明DE⊥平面ABD，又AB?平面ABD，所以AB⊥DE；
（Ⅱ）容易判断出△ABE，△ADE，△BDE都是直角三角形，所以只需求出一些直角边，即可求出这三个三角形的面积，也就求出了三棱锥E-ABD的侧面积．

解答： 解：（Ⅰ）∵∠ABD=90°，∴AB⊥BD，AB∥CD，∴CD⊥BD，∴DE⊥BD；
∵平面EDB⊥平面ABD，平面EDB∩平面ABD=BD，DE?平面EDB，DE⊥BD；
∴DE⊥平面ABD，AB?平面ABD；
∴DE⊥AB，即AB⊥DE；
（Ⅱ）AB⊥DE，AB⊥BD，DE∩BD=D；
∴AB⊥平面EDB，BE?平面EDB，∴AB⊥BE，∴△ABE为Rt△；
ED⊥平面ABD，AD?平面ABD，∴ED⊥AD，∴△ADE为Rt△；
前面知道ED⊥BD，∴△BDE为Rt△；
在RtABD中，BD=

16-4

=2

3

，∴S△BDE=

1

2

BD•DE=2

3

；
S△ADE=

1

2

AD•DE=4；
在Rt△BDE中，BE=

12+4

=4，∴S△ABE=

1

2

AB•BE=4；
∴三棱锥E-ABD的侧面积为：8+2

3

．

点评：考查面面垂直的性质定理，直角三角形边的关系．