Question

14．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{lnx}{x}，x≥1}\\{-{x}^{3}+1，x＜1}\end{array}\right.$，若关于x的方程f（x）=k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{e}$）
• B． （-∞，0]
• C． （-∞，$\frac{1}{e}$）
• D． [$\frac{1}{e}$，+∞）

Answer 1

分析 判断f（x）的单调性，计算极值，作出f（x）的函数图象，根据图象得出k的范围．

解答 解：当x≥1时，f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
∴当1≤x≤e时，f′（x）≥0，当x＞e时，f′（x）＜0，
∴f（x）在[1，e）上单调递增，在[e，+∞）上单调递减，
∴当x=e时，f（x）取得极大值f（e）=$\frac{1}{e}$．
又f（1）=0，当x＞1时，f（x）=$\frac{lnx}{x}$＞0，
当x＜1时，f（x）=-x³+1为减函数，
作出f（x）的大致函数图象如图所示：

∴当0＜k＜$\frac{1}{e}$时，f（x）=k有3个不同的实数根．
故选A．

点评 本题考查了函数单调性判断，函数零点与函数图象的关系，属于中档题．