Question

5．数列{a_n}中，a_n+1=2+$\sqrt{4{a}_{n}-{{a}_{n}}^{2}}$，则a₁+a₂₀₁₈的最大值为（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 4-2$\sqrt{2}$
• D． 4+2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 对a_n+1=2+$\sqrt{4{a}_{n}-{{a}_{n}}^{2}}$等号两端平方，整理得：${{a}_{n+1}}^{2}$-4a_n+1+2=-（${{a}_{n}}^{2}$-4a_n+2），即数列{${{a}_{n}}^{2}$-4a_n+2}是公比为-1的等比数列，故（${{a}_{1}}^{2}$-4a₁+2）+（${{a}_{2018}}^{2}$-4a₂₀₁₈+2）=0，整理后，利用基本不等式可得${{（a}_{1}{+a}_{2018}-2）}^{2}$=2a₁•a₂₀₁₈≤2${（\frac{{a}_{1}{+a}_{2018}}{2}）}^{2}$（当且仅当a₁=a₂₀₁₈=2+$\sqrt{2}$时取等号），再令t=a₁+a₂₀₁₈，则t-2≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，解得：t≤4+2$\sqrt{2}$，即a₁+a₂₀₁₈≤4+2$\sqrt{2}$．

解答 解：数列{a_n}中，∵a_n+1=2+$\sqrt{4{a}_{n}-{{a}_{n}}^{2}}$，
∴4a_n-${{a}_{n}}^{2}$≥0，解得：0≤a_n≤4，且a_n+1≥2．
对a_n+1=2+$\sqrt{4{a}_{n}-{{a}_{n}}^{2}}$等号两端平方，整理得：
${{a}_{n+1}}^{2}$-4a_n+1+2=-（${{a}_{n}}^{2}$-4a_n+2），
∴数列{${{a}_{n}}^{2}$-4a_n+2}是公比为-1的等比数列，
∴（${{a}_{1}}^{2}$-4a₁+2）+（${{a}_{2018}}^{2}$-4a₂₀₁₈+2）=0．
即${{（a}_{1}{+a}_{2018}）}^{2}$-2a₁•a₂₀₁₈-4（a₁+a₂₀₁₈）+4=0，
∴${{（a}_{1}{+a}_{2018}-2）}^{2}$=2a₁•a₂₀₁₈≤2${（\frac{{a}_{1}{+a}_{2018}}{2}）}^{2}$（当且仅当a₁=a₂₀₁₈=2+$\sqrt{2}$时取等号），
令t=a₁+a₂₀₁₈，则t-2≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，
解得：t≤4+2$\sqrt{2}$，
即a₁+a₂₀₁₈≤4+2$\sqrt{2}$．
故选：D．

点评 本题考查数列递推式的应用，求得（${{a}_{1}}^{2}$-4a₁+2）+（${{a}_{2018}}^{2}$-4a₂₀₁₈+2）=0是关键，考查等价转化思想与综合运算能力，属于难题．