Question

5．已知函数f（x）=2^x-2^ax+b，且f（1）=$\frac{3}{2}$，f（2）=$\frac{15}{4}$．
（1）求a，b；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）若2^tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意得到关于a，b的方程组，解出即可；
（2）根据函数奇偶性的定义证明即可；
（3）将m分离出来，然后求等号另一边关于x的函数的最值，借助于单调性求该函数的最值．

解答 解：（1）由f（1）=$\frac{3}{2}$，f（2）=$\frac{15}{4}$，
得$\left\{\begin{array}{l}{a+b=-1}\\{2a+b=-2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=0}\end{array}\right.$，
（2）由（1）得：f（x）=2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$，
f′（x）=2^-x-$\frac{1}{{2}^{-x}}$=-（2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$）=-f（x），
故f（x）是奇函数；
（3）由2^tf（2t）+mf（t）≥0⇒2^t（2^2t-$\frac{1}{{2}^{2t}}$）+m（2^t-$\frac{1}{{2}^{t}}$）≥0，
m（2^t-2^-t_）≥-2^t（2^2t-2^-2t），
又t∈[1，2]⇒2^t-2^-t＞0，
m≥-2^t（2^t+2^-t）
即m≥-2^2t-1．
只需m≥（-2^2t-1）_max
令y=-2^2t-1，易知该函数在t∈[1，2]上是减函数，
所以y_max=-2²-1=-5．
综上 m≥-5．

点评 本题的第三问要仔细体会将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题来解得基本思路，要注意总结．同时要注意利用换元法在此类问题时，中间变量t的范围．