Question

17．某地区2011年至2015年农村居民家庭人均纯收入y（单位：万元）的数据如表：

年份	2011	2012	2013	2014	2015
年份代号t	1	2	3	4	5
人均纯收入y	2.9	3.3	3.6	4.4	4.8

（1）求y关于t的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，分析2011年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2016年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：$\left\{{\begin{array}{l}{\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x}•\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}}\\{\hat a=\overline y-\hat b\overline x}\end{array}}\right.$．

Answer 1

分析 （1）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程．
（2）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值．

解答 解：（1）由题意，$\overline{t}$=$\frac{1}{5}$×（1+2+3+4+5）=3，$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8）=3.8，
∴$\widehat{b}$=0.49，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{t}$=2.33
∴y=0.49t+2.33；
（2）∵$\hat b=0.49＞0$，∴2011年至2015年该区人均纯收入稳步增长．
预计到2016年，该区人均纯收入y=0.49•6+2.33=5.27（万元）
所以，预计到2016年，该区人均纯收入约5.27万元左右．

点评 本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个中档题．