Question

14．已知定义在R上的函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{|x-1|}（x≠1）}\\{1（x=1）}\end{array}\right.$，若关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有三个不等的实数解，设m=b+2c，则m的取值范围是m=0或m≤-1．

Answer 1

分析 作出f（x）的图象，根据函数图象的特点得到函数关于直线x=1对称．从而得出f²（x）+bf（x）+c=0有且只有一正根f（x）=1，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：作出函数的图象如图：易知f（x）的图象关于直线x=1对称，
设t=f（x），则当t=1时，方程f（x）=t有3个根，
当t＞0且t≠1时，方程f（x）=t有2个根，
当t≤0时，方程f（x）=t有0个根，
对于方程f²（x）+bf（x）+c=0，是一个关于f（x）的一元二次方程，
若方程f²（x）+bf（x）+c=0，有3个不等的实数根x₁，x₂，x₃，
则此一元二次方程t²+bt+c=0有且只有一个正根1，即f（x）=1，
此时x₁，x₂，x₃三个数中有一个是1，
另两个关于x=1对称，
①当方程t²+bt+c=0有一根为1另一根为0时，b=-1，c=0，m=b+2c=-1．
②当方程t²+bt+c=0只有一根为1时，△=b²-4c=0，1+b+c=0，解得b=-2，c=1，m=b+2c=0．
③当方程t²+bt+c=0有一根为1另一根为负时，△=b²-4c＞0，1+b+c=0，c＜0，解得b=-2，c=1，
m=b+2c=-1+c＜-1，
综上m的取值范围是：m=0或m≤-1
故答案为：m=0或m≤-1

点评 本题主要考查方程根的个数的应用、数形结合思想、分类讨论思想，考查学生的综合应用能力．属于难题．