Question

6．如图，在三棱锥P-ABC中，直线PA⊥平面ABC，且∠ABC=90°，又点Q，M，N分别是线段PB，AB，BC的中点，且点K是线段MN上的动点
（1）证明：直线QK∥平面PAC
（2）若PA=AB=BC=8，且K为MN的中点，求二面角Q-AK-M的平面角的正切值．

Answer 1

分析 （1）连结QA，则QM∥PA，且MN∥AC，从而QM∥平面PAC，且MN∥平面PAC，进而平面QMN∥平面PAC，由此能证明线QK∥平面PAC．
（2）过M作MH⊥AK于H，连结QH，则∠QHM是二面角Q-AK-M的平面角，由此能求出二面角Q-AK-M的平面角的正切值．

解答 证明：（1）连结QA，∵点Q，M，N分别是线段PB，AB，BC的中点，
∴QM∥PA，且MN∥AC，
∴QM∥平面PAC，且MN∥平面PAC，
又∵MN∩QM=M，
∴平面QMN∥平面PAC，
∵QK?平面QMN，∴线QK∥平面PAC．
解：（2）过M作MH⊥AK于H，连结QH，
则∠QHM是二面角Q-AK-M的平面角，
在Rt△QMH中，tan∠OHM=$\frac{QM}{MH}=\frac{\frac{1}{2}PA}{MH}$=$\frac{4}{MH}$，
∵AK=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
在△AMK中，由等面积法得：
S_△AMK=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{10}×MH$，
解得MH=$\frac{4}{\sqrt{10}}$，
∴tan$∠OHM=\frac{4}{MH}=\sqrt{10}$，
∴二面角Q-AK-M的平面角的正切值为$\sqrt{10}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．