Question

16．设a≤3，函数f（x）=x|x-a|-a．
（1）若f（x）为奇函数，求a的值；
（2）若对任意的x∈[2，3]，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据f（0）=0即可求出a；
（2）讨论a的取值：a＜2，2≤a≤3，两种情况，求出每种情况下的f（x）的最小值，让最小值大于等于0从而求出a的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）在原点有定义，f（x）为奇函数；
∴f（0）=-a=0；
∴a=0；
（2）f（x）=x|x-a|-a；
∴①若a＜2，则x=2时，f（x）在[2，3]上取得最小值f（2）=2（2-a）-a=4-3a；
∴4-3a≥0，a≤$\frac{4}{3}$；
∴a≤$\frac{4}{3}$；
②若2≤a≤3，则x=a时，f（x）取得最小值f（a）=-a；
-a＜0，不满足f（x）≥0；
即这种情况不存在．
∴综上得a的取值范围为（-∞，$\frac{4}{3}$]．

点评 考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时f（0）=0，函数零点的定义，含绝对值函数求最值的方法，属于中档题．