Question

已知函数f（x）=x³-

3

4

x²sinθ，其中x∈R，θ为参数，且0≤θ≤π．若函数f（x）的极小值小于-

1

128

，则参数θ的取值范围是（　　）

• A、（

  π

  6

  ，π）
• B、（

  π

  6

  ，

  π

  2

  ]
• C、[

  π

  6

  ，

  5π

  6

  ]
• D、（

  π

  6

  ，

  5π

  6

  ）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的综合应用,三角函数的求值

分析：由题意求导f′（x）=3x²-

3

2

xsinθ=

3

2

x（2x-sinθ），从而可知函数f（x）在x=

1

2

sinθ处取得极小值，从而得到不等式

1

8

sin³θ-

3

4

×

1

4

sin²θ•sinθ＜-

1

128

，从而求解θ．

解答： 解：f′（x）=3x²-

3

2

xsinθ=

3

2

x（2x-sinθ），
又∵0≤θ≤π，∴0≤sinθ≤1；
又∵函数f（x）有极小值，
∴0＜sinθ＜1，且函数f（x）在x=

1

2

sinθ处取得极小值，
∴f（

1

2

sinθ）=

1

8

sin³θ-

3

4

×

1

4

sin²θ•sinθ＜-

1

128

，
∴sin³θ＞

1

8

，即sinθ＞

1

2

，
故θ∈（

π

6

，

5π

6

）．
故选D．

点评：本题考查了导数的综合应用与三角函数求值，属于中档题．