设O为坐标原点.抛物线y2=4x的焦点为F.P为抛物线上一点．若|PF|=3.则△OPF的面积为$\sqrt{2}$．题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

13．设O为坐标原点，抛物线y²=4x的焦点为F，P为抛物线上一点．若|PF|=3，则△OPF的面积为$\sqrt{2}$．

分析根据抛物线方程求得抛物线的准线方程与焦点坐标，利用|PF|=3求得P点的横坐标，代入抛物线方程求得纵坐标，代入三角形面积公式计算．

解答解：由抛物线方程得：抛物线的准线方程为：x=-1，焦点F（1，0），
又P为C上一点，|PF|=3，∴x_P=2，
代入抛物线方程得：|y_P|=2$\sqrt{2}$，
∴S_△POF=$\frac{1}{2}$×|OF|×2$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评本题考查了抛物线的定义及几何性质，熟练掌握抛物线上的点所迷住的条件是解题的关键．

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3．双曲线y²-$\frac{{x}^{2}}{7}$=1的渐近线方程为（　　）

y=±$\sqrt{7}$x

y=±$\frac{\sqrt{7}}{7}$x

y=±$\frac{1}{7}$x

4．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点（$\frac{3}{2}$，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$），且离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）若点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是椭圆C上的亮点，且x₁≠x₂，点P（1，0），证明：△PAB不可能为等边三角形．

如图，在正四棱锥P-ABCD中，点M为侧棱PA的中点．
（Ⅰ）求证：PC∥平面BDM；
（Ⅱ）若PA⊥PC，求证：PA⊥平面BDM．

8．已知双曲线的焦点在x轴上，焦距为2$\sqrt{5}$，且双曲线的一条渐近线与直线x-2y+1=0平行，则双曲线的标准方程为（　　）

$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1

x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1

$\frac{3{x}^{2}}{20}$-$\frac{3{y}^{2}}{5}$=1

$\frac{3{x}^{2}}{5}$-$\frac{3{y}^{2}}{20}$=1

18．已知椭圆的长轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为（　　）

$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

如图，在平面ABCD中，AB⊥平面ADE，CD⊥平面ADE，△ADE是等边三角形，AD=DC=2AB=2，F，G分别为AD，DE的中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求四棱锥E-ABCD的体积；
（Ⅲ）判断直线AG与平面BCE的位置关系，并加以证明．

2．已知p：x=1，q：x³-2x+1=0，则p是q的充分不必要条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选出适当的一种填空）．

3．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（-x）=-f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．
（I）已知二次函数f（x）=ax²+2bx-3a（a，b∈R），试判断f（x）是否为“局部奇函数”？并说明理由；
（II）设f（x）=2^x+m-1是定义在[-1，2]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；
（III）设f（x）=4^x-m•2^x+1+m²-3，若f（x）不是定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．