Question

8．已知双曲线的焦点在x轴上，焦距为2$\sqrt{5}$，且双曲线的一条渐近线与直线x-2y+1=0平行，则双曲线的标准方程为（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1
• B． x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• C． $\frac{3{x}^{2}}{20}$-$\frac{3{y}^{2}}{5}$=1
• D． $\frac{3{x}^{2}}{5}$-$\frac{3{y}^{2}}{20}$=1

Answer 1

分析 设双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0），由2c=2$\sqrt{5}$，则c=$\sqrt{5}$，由双曲线的一条渐近线与直线x-2y+1=0平行，即$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，c²=a²+b²，即可求得a和b的值，即可求得双曲线的标准方程．

解答 解：由题意可知：设双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0），由2c=2$\sqrt{5}$，则c=$\sqrt{5}$，
双曲线的一条渐近线与直线x-2y+1=0平行，即$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，
由c²=a²+b²，解得：a=2，b=1，
∴双曲线的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=1$，
故选A．

点评 本题考查双曲线的标准方程及简单几何性质，考查计算能力，属于基础题．