Question

5．如图，在平面ABCD中，AB⊥平面ADE，CD⊥平面ADE，△ADE是等边三角形，AD=DC=2AB=2，F，G分别为AD，DE的中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求四棱锥E-ABCD的体积；
（Ⅲ）判断直线AG与平面BCE的位置关系，并加以证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出EF⊥AD，则平面ADE⊥平面ABCD，由此能证明EF⊥平面ABCD．
（Ⅱ）推导出四边形ABCD是直角梯形，由此能求出四棱锥E-ABCD的体积．
（Ⅲ）取CE的中点H，连结GH，BH，推导出四边形ABHG为平行四边形，从而AG∥BH，由此得到AG∥平面BCE．

解答 （本小题满分13分）
证明：（Ⅰ）因为F为等边△ADE的边AD的中点，
所以 EF⊥AD．…（2分）
因为AB⊥平面ADE，AB?平面ABCD，
所以平面ADE⊥平面ABCD．…（4分）
所以EF⊥平面ABCD．…（5分）
解：（Ⅱ）因为AB⊥平面ADE，CD⊥平面ADE，
所以AB∥CD，∠ADC=90°，
四边形ABCD是直角梯形，…（7分）
又AD=DC=2AB=2，
所以${S_{梯形ABCD}}=\frac{1}{2}•（2+1）•2=3$，…（8分）
又$EF=\sqrt{3}$．所以${V_{E-ABCD}}=\frac{1}{3}{S_{ABCD}}•EF=\sqrt{3}$．…（9分）
（Ⅲ）结论：直线AG∥平面BCE．
证明：取CE的中点H，连结GH，BH，
因为G是DE的中点，所以GH∥DC，且 GH=$\frac{1}{2}DC$．…（11分）
所以GH∥AB，且GH=AB=1，
所以四边形ABHG为平行四边形，AG∥BH，…（12分）
又AG?平面BCE，BH?平面BCE．
所以AG∥平面BCE．…（13分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查线面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．