Question

【题目】在斜三棱柱中，为等腰直角三角形，，平面⊥平面，点为棱的中点，.

（1）证明：平面平面.

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）证明平面，平面平面即得证；

（2）由于，，两两垂直，以为坐标原点，，，分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，再利用向量法求出二面角的余弦值.

（1）证明：分别取，的中点和，连接，，，.

因为，为的中点，所以，

因为平面平面，且平面平面.

所以平面，

因为是的中点.

所以，且，

因为点为棱的中点所以，且，

所以，且，所以四边形是平行四边形，则.

因为平面，所以平面，

因为平面，所以平面平面.

（2）由题意得，则平面，故，，两两垂直.

以为坐标原点，，，分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

故，，，

设平面的法向量为，

则，令，得.

设平面的法向量为，

则令，得，

则，

由图可知二面角为锐角，则二面角的余弦值为.