题目内容
【题目】已知函数.
Ⅰ
若函数
的最大值为3,求实数
的值;
Ⅱ
若当
时,
恒成立,求实数
的取值范围;
Ⅲ
若
,
是函数
的两个零点,且
,求证:
.
【答案】Ⅰ
4;
Ⅱ
;证明见解析.
【解析】
Ⅰ
求出函数
的定义域,利用导函数符号判断函数的单调性,由单调性求解函数的最大值,然后求出
即可;
Ⅱ
化简恒成立的不等式为
,得到
令
,利用函数的导数符号判断函数的单调性,得到
,然后求解
的范围;
Ⅲ
,
是函数
的两个零点,可得
,构造函数
,利用函数的导数的符号判断函数的单调性,推出
,得到
,即可证明结论.
Ⅰ
函数
的定义域为
因为
,
所以在内,
,
单调递增;
在内,
,
单调递减.
所以函数在
处取得唯一的极大值,即
的最大值
.
因为函数的最大值为3,
所以,
解得
Ⅱ
因为当
时,
恒成立,
所以,
所以,
即.令
,
则
因为,
所以.
所以在
单调递增
所以,
所以,
所以即实数k的取值范围是
;
Ⅲ
由
Ⅰ
可知:
,
.
所以
因为,
是函数
的两个零点,
所以.
因为
令,
则.
所以在,
,
单调递减.
所以.
所以,即
.
由Ⅰ
知,
在
单调递增,
所以,
所以
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