题目内容
【题目】若存在实常数和
,使得函数
和
对其公共定义域上的任意实数x都满足:
和
恒成立,则称此直线
为
和
的“隔离直线”,已知函数
,
,
(
为自然对数的底数),则( )
A.在
内单调递增;
B.和
之间存在“隔离直线”,且
的最小值为
;
C.和
之间存在“隔离直线”,且
的取值范围是
;
D.和
之间存在唯一的“隔离直线”
.
【答案】ABD
【解析】
令,利用导数可确定
单调性,得到
正确;
设,
的隔离直线为
,根据隔离直线定义可得不等式组
对任意
恒成立;分别在
和
两种情况下讨论
满足的条件,进而求得
的范围,得到
正确,
错误;
根据隔离直线过和
的公共点,可假设隔离直线为
;分别讨论
、
和
时,是否满足
恒成立,从而确定
,再令
,利用导数可证得
恒成立,由此可确定隔离直线,则
正确.
对于,
,
,
,
当时,
,
单调递增,
,
在
内单调递增,
正确;
对于,设
,
的隔离直线为
,
则对任意
恒成立,即
对任意
恒成立.
由对任意
恒成立得:
.
⑴若,则有
符合题意;
⑵若则有
对任意
恒成立,
的对称轴为
,
,
;
又的对称轴为
,
;
即,
,
;
同理可得:,
;
综上所述:,
,
正确,
错误;
对于,
函数
和
的图象在
处有公共点,
若存在
和
的隔离直线,那么该直线过这个公共点.
设隔离直线的斜率为,则隔离直线方程为
,即
,
则恒成立,
若,则
不恒成立.
若,令
,对称轴为
在
上单调递增,
又,故
时,
不恒成立.
若,
对称轴为
,
若恒成立,则
,解得:
.
此时直线方程为:,
下面证明,
令,则
,
当时,
;当
时,
;当
时,
;
当
时,
取到极小值,也是最小值,即
,
,即
,
函数
和
存在唯一的隔离直线
,
正确.
故选:.
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