Question

已知函数f（x）=x+

m

x

，且此函数图象过点（1，5）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）讨论f（x）在[2，+∞）上的单调性？并证明你的结论．
（3）求函数f（x）在区间[2，4]上的最小值和最大值．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）将点（1，5）代入f（x）=x+

m

x

求m，再求f（x）的解析式；（2）求f（x）的导数f′（x）≥0，利用导数判断在[2，+∞）上的单调性；（3）区间[2，4]⊆[2，+∞），函数f（x）在区间[2，4]也单调递增，利用单调性求最值．

解答： 解：（1）∵函数图象过点（1，5）．得1+m=5，解得 m=4；
（2）函数f（x）在[2，+∞）上的单调递增，证明如下：
由（1）知f（x）=x+

4

x

，f′（x）=1-

4

x2

，
当x∈[2，+∞），即x≥2时，f′（x）=1-

4

x2

≤0，
f（x）在[2，+∞）上的单调递增．
（3）由f（x）在[2，+∞）上单调递增可知函数f（x）在区间[2，4]也单调递增，
当x=2时，函数取得最小值4，当x=4时，函数取得最大值5．

点评：关键要熟练利用导数求解单调性，利用单调性求最值，