Question

定义在R上的增函数y=f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0）；
（2）求证：f（x）为奇函数；
（3）求满足不等式f（x²+2）+f[-3x]＜0的x的取值范围．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合,抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据题意，令x=y=0可得，f（0）=f（0）+f（0），变形可得f（0），
（2）令y=-x，得f（x-x）=f（x）+f（-x），由（1）可得f（0）=0，即可得0=f（x）+f（-x），可得证明；
（3）根据题意，由f（x）的奇偶性与单调性，可将f（x²+2）+f[-3x]＜0变形为f（x²+2）＜f[3x]，进而可得x²+2＜3x，解得x的取值范围．

解答： 解：（1）在f（x+y）=f（x）+f（y）中，
令x=y=0可得，f（0）=f（0）+f（0），
则f（0）=0，
（2）令y=-x，得f（x-x）=f（x）+f（-x），
又f（0）=0，则有0=f（x）+f（-x），
即可证得f（x）为奇函数；
（3）因为f（x）在R上时增函数，又由（2）知f（x）是奇函数，
f（x²+2）+f[-3x]＜0可化为：f（x²+2）＜-f[-3x]=f[3x]，
即x²+2-3x＜0，
解得：x∈（1，2）

点评：本题考查函数的恒成立问题与抽象函数的应用，关键是用赋值法求出f（0），进而来判断函数的奇偶性．