Question

设函数f（x）=（x+a）e^ax．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在区间（-4，4）上单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可求函数f（x）的单调区间；
（2）根据函数的单调性和导数之间的关系转化为f′（x）≥0恒成立．

解答： 解：（1）若a=0，则f（x）=x，此时函数单调递增区间为（-∞，+∞）．
若a≠0，则函数的导数为f′（x）=e^ax+a（x+a）e^ax=（ax+a²+1）e^ax．
若a＞0，由f′（x）=（ax+a²+1）e^ax＞0，即ax＞-a²-1，
则不等式等价为x＞

-a2-1

a

=-a-

1

a

，此时函数单调递增，
由由f′（x）=（ax+a²+1）e^ax＜0，即ax＜-a²-1，
则不等式等价为x＜

-a2-1

a

=-a-

1

a

，此时函数单调递减，
若a＜0，由f′（x）=（ax+a²+1）e^ax＞0，即ax＞-a²-1，
则不等式等价为x＜

-a2-1

a

=-a-

1

a

，此时函数单调递增，
由f′（x）=（ax+a²+1）e^ax＜0，即ax＜-a²-1，
则不等式等价为x＞

-a2-1

a

=-a-

1

a

，此时函数单调递减．
综上：a=0，函数的单调增区间是（-∞，+∞），
a＞0，函数的递增区间是（-a-

1

a

，+∞），递减区间是（-∞，-a-

1

a

），
a＜0，函数的递减区间是（-a-

1

a

，+∞），递增区间是（-∞，-a-

1

a

）．
（2）若函数f（x）在区间（-4，4）上单调递增，则f′（x）=（ax+a²+1）e^ax≥0恒成立，
即ax+a²+1≥0，
设g（x）=ax+a²+1，则满足

g(-4)=a2-4a+1≥0 g(4)=a2+4a+1≥0

，
则

a≥2+ 3 或a≤2- 3 a≥-2+ 3 或a≤-2- 3

，
即a≤-2-

3

或-2+

3

≤a≤2-

3

或a≥2+

3

．

点评：本题主要考查函数单调性和导数之间的关系的应用，综合考查导数的基本运算，综合性较强，运算量较大．