Question

已知函数f（x）=log_ax（a＞0，a≠1），且f（3）-f（2）=1．
（1）若f（3m-2）＜f（2m+5），求实数m的取值范围；
（2）求使f(x-

2

x

)=log

3

2

7

2

成立的x的值．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由条件f（3）-f（2）=1，求出a的值，然后利用对数的单调性解不等式f（3m-2）＜f（2m+5），即可求实数m的取值范围；
（2）直接利用对数的性质解对数方程即可．

解答： 解：∵f（3）-f（2）=1，
∴f（3）-f（2）=log_a3-log_a2=log_a

3

2

=1，
∴a=

3

2

．
（1）∵a=

3

2

．
∴函数f（x）=log 

3

2

x在定义域（0，+∞）上单调递增，
若f（3m-2）＜f（2m+5），
则

3m-2＞0 2m+5＞0 3m-2＜2m+5

，即

m＞ 2 3 m＞- 5 2 m＜7

，
∴

2

3

＜m＜7．
（2）若f(x-

2

x

)=log

3

2

7

2

=f（

7

2

），
则x-

2

x

=

7

2

，
∴x=-

1

2

或x=4满足条件．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质，以及利用对数函数的单调性解不等式，考查学生的运算能力．