Question

某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x万件，需另投入的成本为C（x）（单位：万元），当年产量小于80万件时，C（x）=

1

3

x²+10x；当年产量不小于80万件时，C（x）=51x+

10000

x

-1450．假设每万件该产品的售价为50万元，且该厂当年生产的该产品能全部销售完．
（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数关系式；
（2）年产量为多少万件时，该厂在该产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用,函数解析式的求解及常用方法

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）分两种情况进行研究，当0＜x＜80时，投入成本为C(x)=

1

3

x2+10x（万元），根据年利润=销售收入-成本，列出函数关系式，当x≥80时，投入成本为C(x)=51x+

10000

x

-1450，根据年利润=销售收入-成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；
（2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x＜80时，利用二次函数求最值，当x≥80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．

解答： 解：（1）∵每件商品售价为0.05万元，
∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元，
①当0＜x＜80时，根据年利润=销售收入-成本，
∴L(x)=(0.05×1000x)-

1

3

x2-10x-250=-

1

3

x2+40x-250；
②当x≥80时，根据年利润=销售收入-成本，
∴L(x)=(0.05×1000x)-51x-

10000

x

+1450-250=1200-(x+

10000

x

)．
综合①②可得，L(x)=

- 1 3 x2+40x-250(0＜x＜80) 1200-(x+ 10000 x )(x≥80).

．
（2）由（1）可知，L(x)=

- 1 3 x2+40x-250(0＜x＜80) 1200-(x+ 10000 x )(x≥80).

，
①当0＜x＜80时，L(x)=-

1

3

x2+40x-250=-

1

3

(x-60)2+950，
∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元；
②当x≥80时，L(x)=1200-(x+

10000

x

)≤1200-2

x• 10000 x

=1200-200=1000，
当且仅当x=

10000

x

，即x=100时，L（x）取得最大值L（100）=1000万元．
综合①②，由于950＜1000，
∴当产量为10万件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元．

点评：本题主要考查函数模型的选择与应用．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．本题建立的数学模型为分段函数，对于分段函数的问题，一般选用分类讨论和数形结合的思想方法进行求解．属于中档题．