Question

【题目】已知数列的前项的和为，记．

（1）若是首项为，公差为的等差数列，其中，均为正数．

①当，，成等差数列时，求的值；

②求证：存在唯一的正整数，使得．

（2）设数列是公比为的等比数列，若存在，（，，）使得，求的值．

Answer 1

【答案】（1）①②见解析（2）

【解析】

先写出的表达式．

写出，，，列出等式求解．

等价于，是一个固定的数，当时，区间互不相交，且并集为，所以n存在且唯一．

先将等式化成基本量表示的形式，有，设出函数，当时，，又，从而找出r，t的值，再解出q．

（1）①因为，，成等差数列，

所以，即，

解得，．

②由，得,

整理得，解得,

由于且．

因此存在唯一的正整数，使得．

（2）因为，所以．

设，，．

则,

因为，，所以，

所以，即，即单调递增．

所以当时，，

则，即，这与互相矛盾．

所以，即．

若，则,

即，与相矛盾．

于是，所以，即．

又，所以．