Question

【题目】在正方体中，P是侧面上的动点，与垂直，则直线与直线AB所成角的正弦值的最小值是（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

解法一：根据异面直线所成角的定义在图形中找出与所成的角，然后在三角形中利用解三角形的知识求解；

解法二、解法三：建立空间直角坐标系，从而得出与所成角的余弦值的表达式，求出其余弦值的最大值，即得其正弦值的最小值．

解法一：如图，连接，易证得直线平面．

因为与垂直，且是侧面上的动点，所以点是线段上的动点．

又，所以直线与直线所成的角即．

连接，平面，平面，，

在直角三角形中，设，，

则，因此，

因为，所以当时，取得最小值，最小值为．

解法二：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为1，则，设，其中，

则，

因为与垂直，所以，所以，

所以，

因为，所以当时，取得最大值，

此时取得最小值；

解法三：如图，连接，易证得直线平面．

因为与垂直，且是侧面上的动点，所以点是线段上的动点，

以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

设正方体的棱长为1，则，

于是，设，

所以，所以，

所以，

因为，所以当时，取得最大值，

此时取得最小值．

故选：B.