Question

【题目】已知椭圆的离心率为，若椭圆的长轴长等于的直径，且，成等差数列

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设、是椭圆上不同的两点，线段的垂直平分线交轴于点，试求点的横坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）求得圆的直径，结合等差中项，联立方程组，求解即可；

（Ⅱ）设线段所在的直线方程为：，联立直线与椭圆的方程消元可得，由可得，然后表示出直线的方程，得到即可.

（Ⅰ）由成等差数列得：

又圆的方程可化为，

所以，，

∴，，

所以椭圆的方程为：

（Ⅱ）因为，所以可设线段所在的直线方程为：

联立方程组，消去整理得：

则有：，且

又由椭圆的性质得：，，且

所以，

即，即①

又设线段的中点为，

则，

所以当时，直线的方程为：

把代入此方程得：

整理得

由①得：

又当时，由椭圆的对称性知，直线与轴重合，，

所以的取值范围是．