Question

已知F₁，F₂是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，点P是该双曲线和圆x²+y²=a²+b²的一个交点，若sin∠PF₁F₂=2sin∠PF₂F₁，则该双曲线的离心率是（　　）

• A、

  10

  4

• B、

  5

• C、

  10

• D、

  10

  2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：

分析：由已知条件推导出△PF₁F₂中，|OP|=c=

1

2

|F₁F₂|，∠F₁PF₂=90°，|PF₁|=2a，|PF₂|=4a，由此能求出双曲线的离心率．

解答： 解：∵F₁，F₂是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，
∴双曲线的焦点坐标为F₁（-c，0）、F₂（c，0），其中c=

a2+b2

，
∵圆方程为x²+y²=a²+b²，即x²+y²=c²，
∴该半径等于c，且圆经过F₁和F₂，
∵点P是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1与圆x²+y²=a²+b²的交点，
∴△PF₁F₂中，|OP|=c=

1

2

|F₁F₂|，∴∠F₁PF₂=90°，
∵sin∠PF₁F₂=2sin∠PF₂F₁，
∴

|PF2|

2c

=

2|PF1|

2c

，∴|PF₂|=2|PF₁|．
设|PF₁|=x，则|PF₂|=2x，
由双曲线性质得2x-x=x=2a，
∴|PF₁|=2a，则|PF₂|=4a，
由勾股定理得（2a）²+（4a）²=（2c）²，
解得c=

5

a，
∴e=

c

a

=

5

．
故选：B．

点评：本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线简单性质的灵活运用．