Question

已知{a_n}是整数组成的数列，a=1，且点（

an

，an+1）（n∈N^*）在函数y=

1

3

x3+x的导函数的图象上．数列{b_n}满足bn=

1

anan+1

（n∈N^*），则数列{b_n}的前n项和S_n=

 

．

Answer 1

考点：数列与函数的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：求导数y′，然后代入点（

an

，an+1）得数列递推式，由递推式可判断该数列为等差数列，从而可求a_n，进而得到b_n，利用裂项相消法可求得S_n．

解答： 解：y′=x²+1，
因为点（

an

，an+1）在导函数图象上，所以有a_n+1=a_n+1，
故数列{a_n}是以1为首项、1为公差的等差数列，
所以a_n=n，
所以bn=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
S_n=b₁+b₂+…+b_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
故答案为：

n

n+1

．

点评：本题考查数列与函数的综合，考查等差数列的定义及其通项，考查学生灵活运用知识解决问题的能力