Question

已知函数f(x)=loga(ax-

x

)(a＞0，a≠1)
（1）求函数f（x）的定义域
（2）若a=2，求f（x）在区间[1，4]上的最值；
（3）讨论f（x）在定义域上的单调性．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数的定义域及其求法,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由真数ax-

x

＞0，可得得

x

(a

x

-1)＞0，结合已知由不等式的性质可得x＞

1

a2

，可得定义域；
（2）把a=2代入，令t=2x-

x

，可判t在x∈[1，4]上单调递增，由复合函数的单调性可得f（x）在[1，4]上单调递增，由此可得最值；
（3）设x1，x2∈(

1

a2

，+∞)，且x₁＜x₂作差变形可判ax1-

x1

＜ax2-

x2

，分0＜a＜1，a＞1结合复合函数的单调性可得．

解答： 解：（1）由ax-

x

＞0，得

x

(a

x

-1)＞0
∵a＞0，

x

＞0，∴a

x

-1＞0，∴

x

＞

1

a

，∴x＞

1

a2

∴函数定义域为{x|x＞

1

a2

，a＞0，a≠1}；
（2）若a=2，则f(x)=log2(2x-

x

)，x∈(

1

4

，+∞)
令t=2x-

x

，求导数可得t′=2-

1

2 x

＞0，x∈[1，4]
可得函数t=2x-

x

在x∈[1，4]上单调递增，
由复合函数的单调性可得f（x）在[1，4]上单调递增，
∴f（x）_min=f（1）=log₂（2-1）=0，
f(x)max=f(4)=log2(8-

4

)=log26；
（3）设x1，x2∈(

1

a2

，+∞)，且x₁＜x₂
则(ax1-

x1

)-(ax2-

x2

)=a(x1-x2)-(

x1

-

x2

)=(

x1

-

x2

)[a(

x1

+

x2

)-1]
∵x2＞x1＞

1

a2

，∴

x2

＞

x1

＞

1

a

，∴a(

x1

+

x2

)＞a•

2

a

=2，
∴(

x1

-

x2

)[a(

x1

+

x2

)]＜0，
∴ax1-

x1

＜ax2-

x2

若0＜a＜1，则loga(ax1-

x1

)＞loga(ax2-

x2

)，可得f（x）为减函数，
若a＞1，则loga(ax1-

x1

)＜loga(ax2-

x2

)，可得f（x）为增函数．

点评：本题考查函数的单调性的判断与证明，涉及函数定义域和最值的求解以及分类讨论的思想，属中档题．